Latched, pinned, and marked dirty

пришла в голову такая смешная категория: много объектов, и только identity morphisms. она как-нибудь называется по-специальному?

anyway, меня несколько настораживает использование равенства в теории категорий. любое введение начинается с "у нас есть только объекты и морфизмы, ака стрелки из одного объекта в другой, больше ничего". но очень быстро выясняется, что мы ещё оборудованы двумя операциями сравнения - одна для объектов, другая для морфизмов, которые работают как чёрный ящик - суём туда два морфизма, на выходе получаем true или false.

это необъявленное использование равенства появляется довольно быстро в любом введении в теорию категорий. вот, берём первое попавшееся: http://www.staff.science.uu.nl/~ooste110/syllabi/catsmoeder.pdf

строчка X = dom(f) and Y = cod(f) is okay, потому что это определение домена и кодомена, а не сравнение левой части с правой.

а вот в определении ассоциативности h(gf) = (hg)f уже не okay; at this point we are not equipped to test whether h(gf) = (hg)f или нет, мы не знаем, как проверить два по-разному сконструированных морфизма на равенство.

ну и дальше, id_Xg = g подразумевает возможность проверить, равны ли два по-разному сконструированных объекта, ибо только если они равны, исследуемый морфизм - это identity.

что интересно, даже выполнение предыдущего равенства не гарантирует, что исследуемый морфизм - это identity; эта тонкость почему-то в определении identity не упоминается, хотя это, казалось бы, критично.

гуру, развейте мои сомнения.