теория категорий: identity
Oct. 7th, 2015 03:39 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
109пришла в голову такая смешная категория: много объектов, и только identity morphisms. она как-нибудь называется по-специальному?
anyway, меня несколько настораживает использование равенства в теории категорий. любое введение начинается с "у нас есть только объекты и морфизмы, ака стрелки из одного объекта в другой, больше ничего". но очень быстро выясняется, что мы ещё оборудованы двумя операциями сравнения - одна для объектов, другая для морфизмов, которые работают как чёрный ящик - суём туда два морфизма, на выходе получаем true или false.
это необъявленное использование равенства появляется довольно быстро в любом введении в теорию категорий. вот, берём первое попавшееся: http://www.staff.science.uu.nl/~ooste110/syllabi/catsmoeder.pdf
строчка X = dom(f) and Y = cod(f) is okay, потому что это определение домена и кодомена, а не сравнение левой части с правой.
а вот в определении ассоциативности h(gf) = (hg)f уже не okay; at this point we are not equipped to test whether h(gf) = (hg)f или нет, мы не знаем, как проверить два по-разному сконструированных морфизма на равенство.
ну и дальше, idXg = g подразумевает возможность проверить, равны ли два по-разному сконструированных объекта, ибо только если они равны, исследуемый морфизм - это identity.
что интересно, даже выполнение предыдущего равенства не гарантирует, что исследуемый морфизм - это identity; эта тонкость почему-то в определении identity не упоминается, хотя это, казалось бы, критично.
гуру, развейте мои сомнения.
anyway, меня несколько настораживает использование равенства в теории категорий. любое введение начинается с "у нас есть только объекты и морфизмы, ака стрелки из одного объекта в другой, больше ничего". но очень быстро выясняется, что мы ещё оборудованы двумя операциями сравнения - одна для объектов, другая для морфизмов, которые работают как чёрный ящик - суём туда два морфизма, на выходе получаем true или false.
это необъявленное использование равенства появляется довольно быстро в любом введении в теорию категорий. вот, берём первое попавшееся: http://www.staff.science.uu.nl/~ooste110/syllabi/catsmoeder.pdf
строчка X = dom(f) and Y = cod(f) is okay, потому что это определение домена и кодомена, а не сравнение левой части с правой.
а вот в определении ассоциативности h(gf) = (hg)f уже не okay; at this point we are not equipped to test whether h(gf) = (hg)f или нет, мы не знаем, как проверить два по-разному сконструированных морфизма на равенство.
ну и дальше, idXg = g подразумевает возможность проверить, равны ли два по-разному сконструированных объекта, ибо только если они равны, исследуемый морфизм - это identity.
что интересно, даже выполнение предыдущего равенства не гарантирует, что исследуемый морфизм - это identity; эта тонкость почему-то в определении identity не упоминается, хотя это, казалось бы, критично.
гуру, развейте мои сомнения.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
(no subject)
Date: 2015-10-07 11:30 pm (UTC)И ты прав насчет равенства. Там черти прячутся.
С одной стороны, равенство объектов несущественно (т.е. можно взять или Множества, или Скелет Множеств - типа пофиг); с другой стороны да, морфизмы сличаются на равенство.
Один добрый способ состоит в том, чтобы заявлять, что два морфизма равны если они вообще тождественно равны, т.е. просто являются одним и тем же объектом. (Не то что множества.)