теория категорий

[109]

математики отличаются от физиков тем, что уделяют очевидным, с точки зрения нематематика, вещам столько же, если не больше, времени, сколько вещам далеко не столь очевидным, с точки зрения нематематика.

например, зачем столько времени обсасывается identity morphism, его свойства и существование? покажите мне физический... ладно, даже математический объект, для которого не существует identity morphismа.

а потом где-нибудь напишут без пояснений "из чего следует, что" - и сиди, чеши репу, почему следует.

(это я баеза читаю)

Comments

[faceted-jacinth.livejournal.com]

Из аксиом, ёпта. Ну, подставь выражение Id_A * Id_A' в аксиомы для айдентити морфизма. С одной стороны f * Id_A' = f, с другой Id_A * f = f. Теперь подставим в первом... бля, ну ты сам это можешь сделать, не идиот же.

Алсо, я наверное понимаю причину конфьюжена. Нет, равенство в математическом смысле, что если А = "какое-то выражение" и Б = "то же самое выражение", то А = Б, теория категорий ни в коей мере не отменяет.

Что в ней странно и вызывает подобные мысли -- это что если f(A) = B и g(A) = B, из этого вовсе не следует, что h(f(A)) = h(f(B)). Ну вот такая она ебанутая. Из этой ебанутости получается извлечь множество полезностей, таких как моноиды.

[faceted-jacinth.livejournal.com]

хуиту написал. Имел в виду h(f(A)) != h(g(A))

[109.livejournal.com]

> С одной стороны f * Id_A' = f, с другой Id_A * f = f.

во-первых, непонятно, почему ты с разных сторон стал композицию делать.

во-вторых, ну имеем f * Id_A'(X) = f * Id_A(X). дальше-то что?

[faceted-jacinth.livejournal.com]

во-первых, при чём тут (X)? Морфизмы типа point-free =)

Ну ок, раз ты сам не можешь, выпишу, и пусть тебе будет дико стыдно.

Axioms:
(1) f * Id_X = f
(2) Id_X * f = f

Suppose we have two identity morphisms meeting the axioms.

Id_A * Id_A' = Id_A    (by (1))
Id_A * Id_A' = Id_A'   (by (2))

Therefore, 

Id_A = Id_A * Id_A' = Id_A'
Id_A = Id_A'

[das-mutante.livejournal.com]

Во всех теориях математики из f(A) = B /\ g(A) = B следует h(f(A)) = h (g(A)). О чём вы говорите?

[faceted-jacinth.livejournal.com]

В теории категорий стрелки не являются функциями между объектами.

Поэтому запись f(A) = B лучше не использовать, а если использовать, то понимать, что она означает f: A -> B (морфизм f между объектами A и B). Сожалею, что в запале спора не написал это явно.

Соответственно если у нас есть два морфизма f, h из A в B, то разумеется 1) из B может выходить сколько угодно морфизмов в другие объекты, это даже не интересно, 2) что я пытался сказать, если у нас есть морфизм h: B -> C, его композиции с теми морфизмами могут быть различны, h * f != h * g.

[109.livejournal.com]

не понял. если два морфизма f, h из A в B, то что тогда такое h * f? опечатка? что ты на самом деле имел?

[faceted-jacinth.livejournal.com]

"два морфизма f, g из A в B", да.

[faceted-jacinth.livejournal.com]

Соответственно если у нас есть два морфизма f, g из A в B (оба из A в B), то разумеется 1) из B может выходить сколько угодно морфизмов в другие объекты, это даже не интересно, 2) что я пытался сказать, если у нас есть морфизм h: B -> C, его композиции с теми морфизмами могут быть различны,
x: A -> C = h * f
y: A -> C = h * g
x != y

[109.livejournal.com]

почему различны-то, если мы в обоих случаях из A в С попадаем? почему два разных identity морфизма с одинаковыми "откуда" и "куда", всегда одинаковы, а два не-identity морфизма с одинаковыми "откуда" и "куда" могут быть различны? doesn't make any sense to me.

в рамках теории у них же нету никаких других свойств, кроме "откуда" и "куда". как они могут быть различны?

[faceted-jacinth.livejournal.com]

> почему два разных identity морфизма с одинаковыми "откуда" и "куда", всегда одинаковы
Конечно же не одинаковы.

> в рамках теории у них же нету никаких других свойств, кроме "откуда" и "куда". как они могут быть различны?

Ха, всё наоборот, в рамках теории свойства "откуда и куда" вспомогательны и могут быть на самом деле выкинуты (как я только что понял, почитав свежие комменты у Влада), нам достаточно identity морфизмов. Я вначале не поверил, потом порисовал на бумажке стрелочки и поверил.

http://ivan-ghandhi.livejournal.com/1309294.html?thread=12820078#t12820078

Теория категорий весьма своеобразна, это теория о взаимоотношениях между морфизмами (которые обладают собственной идентичностью и являются её истинными объектами!). Перестань пытаться воспринять её сквозь призму своих preconceptions. Начни читать сначала, с аксиом.

[109.livejournal.com]

> Конечно же не одинаковы.

как же? ведь там выше ты доказываешь уникальность identity морфизма.

[faceted-jacinth.livejournal.com]

А, извини, как-то сумел пропустить слово "identity".

[109.livejournal.com]

ну, и? почему два разных identity морфизма с одинаковыми "откуда" и "куда", всегда одинаковы, а два не-identity морфизма с одинаковыми "откуда" и "куда" могут быть различны? я даже пример с вращением на 360 вокруг разных осей приводил, который ты тоже проигнорировал.

[109.livejournal.com]

> Перестань пытаться воспринять её сквозь призму своих preconceptions.

пытаюсь, но трудно. например, ты меня уже почти убедил, что X и Y в выражении X -> Y означают отдельные объекты, и вдруг в этом труде баеза, который я читаю, встречается "for all x∈X, y∈Y" ну как это понимать, а?

[faceted-jacinth.livejournal.com]

Это математики. Понимай из контекста.

[109.livejournal.com]

http://math.ucr.edu/home/baez/rosetta.pdf

первый раз маленькие буквы появляются вместо больших на странице 25, Definition 13.

а на странице 34 написано ровно то, что я сказал, только с греческими буквами вместо x и y.

[faceted-jacinth.livejournal.com]

> первый раз маленькие буквы появляются вместо больших на странице 25, Definition 13

Чувак, это математики. Не программисты. Они используют одни и те же буквы в разных контекстах. Я уже где-то рядом плакался о том, как тяжело мне было читать про общие функции, где контекст был через 10-30 страниц после, причём его понять было невозможно если не понимать о чём они тут говорят, поэтому приходилось постоянно возвращаться и перечитывать каждое утверждение по три раза -- о, утверждение, ок читаю дальше, о, я приблизительно понимаю зачем оно нужно, ок читаю дальше, о, я понимаю почему оно именно такое, ок читаю дальше.

Чувааак. Это не интернет-спор. Они эту свою хуиту придумали, опубликовали и обсудили промеж себя удостоверив её непротиворечивость и полезность лет двадцать назад. Если ты хочешь её понять -- это твои проблемы, их это не интересует. Пойми же -- она верна, по крайней мере на доступном тебе уровне она непротиворечива, все твои вопросы должны быть "я не понимаю, объясните", а не "у вас какая-то хуйня тут по-моему, исправьте". Недоверие к established truths -- отличная вещь, но тут не работает вообще.


> а на странице 34 написано ровно то, что я сказал, только с греческими буквами вместо x и y.

Не сумел найти то, о чём ты говоришь.

[109.livejournal.com]

> Чувааак. Это не интернет-спор.

эээ, ну в интернет-спор это ты превратил, так что претензии предъявляй себе.

> Не сумел найти то, о чём ты говоришь.

в самом конце страницы 34, сразу после "Hilbert space adjoint of f, defined by"

> остальное

"хуйня, исправьте" я говорю тебе, а не абстрактным математикам, когда ты пишешь хуйню. чаще всего это приводит к тому, что ты, да, хуйню исправляешь. то, что в теории категорий всё заебись, я не сомневаюсь. также, я не сомневаюсь, что ты её понимаешь лучше меня, но хуже упомянутых тобой абстрактных математиков. также, я не сомневаюсь, что понимать - это одно, а уметь объяснить - другое, хотя и связаны. не вижу, как эти три факта должны меня удерживать от возгласа "це ж хуйня!", когда я вижу, что ты говоришь хуйню.

[faceted-jacinth.livejournal.com]

"defined" -- no matches found.

If you meant this: "special thing is that we can take the Hilbert space adjoint of any linear operator f : X -> Y between finite-dimensional Hilbert spaces" then obviously that was in context of linear operators in Hilbert spaces. Yes, there we denote our _sets_ as "X" and "Y" and our operators as "f". That's the accepted terminology there! Moreover, when we talk about projecting Set stuff onto the Set category, we talk about functions from a set to a set, and it looks like f: S1 -> S2. Oh wow. What a confusion!

[109.livejournal.com]

> "defined" -- no matches found.

ну ты же нашёл это место! там чуть пониже "defined", и дальше "for all фи in X, пси in Y".

f - это морфизм из X в Y. ну то есть нечто, что действует на X, превращая его в Y. not compatible с предпоследней строчкой на этой странице, где f уже действует не на X, а на фи [in X].

[faceted-jacinth.livejournal.com]

А.

Ну это определение того, как этот морфизм на самом деле устроен. Тебя то, что квантор всеобщности применяется одновременно к фи и пси, не настораживает? Не "для любого фи морфизм задаёт пси", а для любых фи и пси обратный морфизм вот так выражается через прямой.

[faceted-jacinth.livejournal.com]

Ах, ну и напоследок:
> ты меня уже почти убедил
Прикольность всего этого состоит в том, что мне не нужно тебя ни в чём "убеждать", особенно относительно таких базовых вещей. Читай аксиомы, думай о них. Убедиться нужно тебе, я разве что помочь могу иногда добрым словом. Математика же!