теория категорий
May. 5th, 2010 01:00 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
109математики отличаются от физиков тем, что уделяют очевидным, с точки зрения нематематика, вещам столько же, если не больше, времени, сколько вещам далеко не столь очевидным, с точки зрения нематематика.
например, зачем столько времени обсасывается identity morphism, его свойства и существование? покажите мне физический... ладно, даже математический объект, для которого не существует identity morphismа.
а потом где-нибудь напишут без пояснений "из чего следует, что" - и сиди, чеши репу, почему следует.
(это я баеза читаю)
например, зачем столько времени обсасывается identity morphism, его свойства и существование? покажите мне физический... ладно, даже математический объект, для которого не существует identity morphismа.
а потом где-нибудь напишут без пояснений "из чего следует, что" - и сиди, чеши репу, почему следует.
(это я баеза читаю)
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
(no subject)
Date: 2010-05-05 07:21 pm (UTC)Ещё посмотри на страницу 7 по ссылке отсюда: http://www.cs.toronto.edu/~sme/presentations/cat101.pdf (ну то есть и на все предыдущие, конечно), она весьма поучительна, потому что примеров вещей не являющихся категориями в подобных мануалах мне дико не хватает.
(no subject)
Date: 2010-05-05 07:25 pm (UTC)(no subject)
Date: 2010-05-05 07:47 pm (UTC)далее, нигде вроде бы не сказано, что в категории должен быть только один морфизм. если в описанное тобой добавить "=", получится категория? если да, то какой смысл отдельно оговаривать существование айдентити морфизма, если его всегда можно придумать и добавить, и получится категория? а если не всегда можно придумать, то мы возвращаемся к моему оригинальному вопросу (покажите мне объект, для которого не существует identity morphismа).
(no subject)
Date: 2010-05-05 08:10 pm (UTC)Как не морфизм? Ну, стрелочка же из одного объекта (например, числа 2) в другой (например, число 1). Но неправильный морфизм, потому что нет стрелочки из числа 2 в число 2.
Да, если взять "меньше или равно", то получится категория. Тут уместно обратить внимание на неочевидную вещь: нам ещё нужна транзитивность -- если есть стрелочка от 3 к 2 и от 2 к 1, то должна быть стрелочка от 3 к 1. То есть это к вопросу о "можно добавить" -- ну да, можно взять любой DAG и подобавлять туда айдентитей и композиций, чтобы получить категорию. В результате мы получим новый граф, нетривиально отличающийся от старого, так что всё-таки эти требования не тривиальны. Прозреваю что есть более интересные случаи, когда достроить набор объектов и стрелочек до категории совсем нетривиально.
Например, посмотри всё же на седьмую страницу по моей ссылке и разберись, что там происходит.
Сразу помогу одной вещью, которую я очень долго не понимал: нельзя думать о морфизмах как о функциях. Потому что кроме стрелочек от объекта к объекту у нас ещё есть таблица их композиции. То есть если бы это были функции, то не имело бы смысла говорить о более чем одной стрелочке из А в Б, ну, если мы получили Б, то нам уже неважно, как мы его получили.
В теории категорий -- важно. Например, в моноиде всего один объект и множество стрелочек из него в него же (из которых только одна является айдентити морфизмом). Прикол в том, что мы автоматически используем эти самые категориальные законы, требующие в таком случае существования композиции любых двух стрелочек (потому что они выходят и входят в один и тот же объект), нам не нужно это требовать явно. Ну и вот так нахаляву описываем все штуки вроде сложения или умножения. Ну, какой-то интересный их аспект.
(no subject)
Date: 2010-05-05 08:31 pm (UTC)пример с моноидом грешит следующим (на что я тоже хотел пожаловаться, но забыл). во множестве (не в смысле Set, а в смысле "во многих") этих текстов про категории объектом иногда называется всё множество (не в смысле Set, а в смысле some collection), а иногда - отдельный его/её элемент.
в твоём примере с натуральными числами "объект", очевидно, это отдельное натуральное число. "2" - один объект, "3" - другой. в примере с моноидом же, когда ты говоришь "всего один объект", ты имеешь в виду, что domain и codomain - это одно и то же множество (которое может содержать много разных элементов). то есть, ты просто имеешь в виду, что все объекты и морфизмы моноида удовлетворяют f:C→C; один из этих морфизмов - identity morphism.
(no subject)
Date: 2010-05-05 08:40 pm (UTC)Ну, типа, у нас есть айдентити морфизм (назовём его "+0") и одна (в начале) стрелочка "+1". И множество правил -- типа что "+1" * "+1" = "+2", "+2" * "+1" = "+3" (и заодно мы автоматически получаем, что "+1" * "+2" = "+3", из ассоциативности стрелочек). И так далее. Мы на стрелочки смотрим, не на объекты. Нам вполне хватает структуры стрелочек чтобы видеть всякое интересное!
(no subject)
Date: 2010-05-05 08:43 pm (UTC)(no subject)
Date: 2010-05-05 08:46 pm (UTC)но я же не про это. не про то, чтобы заменить отношение "меньше" на отношение "меньше или равно", а про то, чтобы добавить ещё одно отношение "равно" к уже имеющемуся "меньше".
то есть, если всегда можно добавить identity morphism, то непонятно, зачем его существование нужно так тщательно оговаривать; если не всегда можно, то покажите мне пример, когда нельзя.
в голову пока приходит только объект типа null, который не равен самому себе. ну то есть, если рассматривать отношение "равно" на множестве значений полей в датабазе, то "равно" не является айдентити морфизмом. но! легко написать выражение, которое им будет (псевдосиквел):
I(a, b): if a is null and b is null return true else return a = b;
(no subject)
Date: 2010-05-05 08:46 pm (UTC)(no subject)
Date: 2010-05-05 08:49 pm (UTC)(no subject)
Date: 2010-05-05 08:49 pm (UTC)но он всё равно придёт, сам, и скажет что-то, что я не пойму, и я буду страдать от чувства своей неполноценности. у тебя объяснения получаются гораздо лучше, please keep fucking that chicken!
(no subject)
Date: 2010-05-05 08:54 pm (UTC)да при чём тут абстрагироваться. ты "единственного объекта" сейчас употребил в смысле "элемента"? тогда неверно твоё высказывание про моноид. или в смысле что домен равен кодомену? тогда в первом примере про меньше он тоже единственный (натуральные числа).
(no subject)
Date: 2010-05-05 08:59 pm (UTC)"множеством" в смысле "коллекцией", а не в смысле Set? не только может, но и является по определению!
Definition 1: A category C consists of:
- a collection of objects, where if X is an object of C we write X ∈ C
(no subject)
Date: 2010-05-05 09:01 pm (UTC)Когда мы строим категорию, мы говорим, какие у неё есть объекты и морфизмы. В моём примере я сказал: объекты -- натуральные числа, стрелочки -- отношения меньше-или-равно.
При этом то, что я задал сразу все стрелочки одной фразой не должно наводить на мысль, что эта фраза и есть описание стрелочки в единственном числе. Да, стрелочками я называю морфизмы =) То есть я к тому, что морфизм -- это конкретная стрелочка из конкретного объекта в другой конкретный объект, а не правило, описывающее такие стрелочки.
Ну а с моноидом я говорю, что объект у меня один -- множество натуральных чисел.
К твоему соседнему комментарию, чтобы не распыляться, ну да, множество объектов -- множество, а домен морфизма -- не множество объектов (категории), хотя может являться множеством каких-нибудь недообъектов, которые мы не называем объектами в нашей категории.
(no subject)
Date: 2010-05-05 09:09 pm (UTC)(no subject)
Date: 2010-05-05 09:11 pm (UTC)отлично. значит сколько у нас identity морфизмов тогда получается?
> Ну а с моноидом я говорю, что объект у меня один -- множество натуральных чисел.
The natural numbers, N, form a commutative monoid under addition, из твоей же ссылки на вики.
морфизм "addition" применяется к объектам. в данном случае объекты - отдельные натуральные числа, а не всё их множество.
(no subject)
Date: 2010-05-05 09:20 pm (UTC)Могу только ещё раз повторить: прикол именно в том, что имея ровно один объект мы тем не менее можем породить семейство морфизмов из него в него же, которое описывает какие-то интересные свойства например сложения. То есть мы можем увидеть эти свойства, получить из них какие-то ещё свойства, а потом радостно замапить это всё обратно на натуральные числа и сложение и увидеть, что они выполняются.
Ну, как, если ещё помнишь, свойства ортонормированного базиса выводились абстрактно из свойств скалярного произведения (и требования ортонормированности), а потом внезапно оказывалось, что они выполняются и для базисов в конечномерных векторных пространствах, и для базисов в пространстве функций интегрируемых в квадрате на отрезке. Потому что и там, и там скалярное произведение удовлетворяет аксиомам.
Впрочем, если бы кто мне наконец показал подобные практические применения теории категорий, я был бы дико рад. Ну, там, как лимит/колимит выглядит на практике. А то пока я что-то этого не видел, только общие слова.
(no subject)
Date: 2010-05-05 09:21 pm (UTC)По одному на объект. Ты, кстати понимаешь, что слово identity относится к его действию на другие морфизмы, а не только к тому, что он выходит и входит в один и тот же объект?
(no subject)
Date: 2010-05-05 09:26 pm (UTC)(no subject)
Date: 2010-05-05 09:29 pm (UTC)ну вот видишь, братан, опять несходняк. только что ты говорил что identity morphism (в единственном числе) должен быть единственным, а теперь сразу - по одному на объект.
(no subject)
Date: 2010-05-05 09:29 pm (UTC)то f * Id_A = f
и id_B * f = f
Это нетривиальные свойства. Остановись, задумайся об этом, посмотри на примеры вокруг седьмой страницы по ссылке, посмотри на моноид, пойми, почему не для каждого морфизма из объекта в него самого эти свойства должны/могут выполняться.
(no subject)
Date: 2010-05-05 09:31 pm (UTC)Только не перепутай опять разные вещи, как тогда ты перепутал множество объектов категории с domain объектом морфизма.
(no subject)
Date: 2010-05-05 09:35 pm (UTC)ну мы тут как бы в тупик зашли. вот там в вики написано, что не один (каждое натуральное число является отдельным объектом, к которому применяется морфизм "addition"), а ты повторяешь "один".
(no subject)
Date: 2010-05-05 09:45 pm (UTC)Извини, дал неправильную ссылку! Впрочем, в этой ничего не говорится про то, как оно применяется к, например, сложению.
А та была не про теорийкатегорическую фигню.
Короче, пойми, ты раньше неправильно понимал аксиомы теории категорий. Я их тоже неправильно понимал когда-то ещё раньше! Теперь тебе нужно остановиться и посмотреть на них ещё раз, понимая, что из них следуют разные интересные следствия, которые неочевидны если пытаться представить их в узком контексте функций на множествах, например.
(no subject)
Date: 2010-05-05 09:46 pm (UTC)