теория категорий

[109]

математики отличаются от физиков тем, что уделяют очевидным, с точки зрения нематематика, вещам столько же, если не больше, времени, сколько вещам далеко не столь очевидным, с точки зрения нематематика.

например, зачем столько времени обсасывается identity morphism, его свойства и существование? покажите мне физический... ладно, даже математический объект, для которого не существует identity morphismа.

а потом где-нибудь напишут без пояснений "из чего следует, что" - и сиди, чеши репу, почему следует.

(это я баеза читаю)

Comments

[faceted-jacinth.livejournal.com]

Нет.
Когда мы строим категорию, мы говорим, какие у неё есть объекты и морфизмы. В моём примере я сказал: объекты -- натуральные числа, стрелочки -- отношения меньше-или-равно.

При этом то, что я задал сразу все стрелочки одной фразой не должно наводить на мысль, что эта фраза и есть описание стрелочки в единственном числе. Да, стрелочками я называю морфизмы =) То есть я к тому, что морфизм -- это конкретная стрелочка из конкретного объекта в другой конкретный объект, а не правило, описывающее такие стрелочки.

Ну а с моноидом я говорю, что объект у меня один -- множество натуральных чисел.

К твоему соседнему комментарию, чтобы не распыляться, ну да, множество объектов -- множество, а домен морфизма -- не множество объектов (категории), хотя может являться множеством каких-нибудь недообъектов, которые мы не называем объектами в нашей категории.

[109.livejournal.com]

> То есть я к тому, что морфизм - это конкретная стрелочка из конкретного объекта в другой конкретный объект, а не правило, описывающее такие стрелочки.

отлично. значит сколько у нас identity морфизмов тогда получается?

> Ну а с моноидом я говорю, что объект у меня один -- множество натуральных чисел.

The natural numbers, N, form a commutative monoid under addition, из твоей же ссылки на вики.

морфизм "addition" применяется к объектам. в данном случае объекты - отдельные натуральные числа, а не всё их множество.

[faceted-jacinth.livejournal.com]

Нет. У моноида один объект. Морфизм addition применяется к этому единственному объекту, получается он же (объект). Но "+1" * "+1" != "+1" * "+1" * "+1".

Могу только ещё раз повторить: прикол именно в том, что имея ровно один объект мы тем не менее можем породить семейство морфизмов из него в него же, которое описывает какие-то интересные свойства например сложения. То есть мы можем увидеть эти свойства, получить из них какие-то ещё свойства, а потом радостно замапить это всё обратно на натуральные числа и сложение и увидеть, что они выполняются.

Ну, как, если ещё помнишь, свойства ортонормированного базиса выводились абстрактно из свойств скалярного произведения (и требования ортонормированности), а потом внезапно оказывалось, что они выполняются и для базисов в конечномерных векторных пространствах, и для базисов в пространстве функций интегрируемых в квадрате на отрезке. Потому что и там, и там скалярное произведение удовлетворяет аксиомам.

Впрочем, если бы кто мне наконец показал подобные практические применения теории категорий, я был бы дико рад. Ну, там, как лимит/колимит выглядит на практике. А то пока я что-то этого не видел, только общие слова.

[109.livejournal.com]

> Нет. У моноида один объект.

ну мы тут как бы в тупик зашли. вот там в вики написано, что не один (каждое натуральное число является отдельным объектом, к которому применяется морфизм "addition"), а ты повторяешь "один".

[faceted-jacinth.livejournal.com]

Ок, http://en.wikipedia.org/wiki/Monoid_(category_theory)

Извини, дал неправильную ссылку! Впрочем, в этой ничего не говорится про то, как оно применяется к, например, сложению.

А та была не про теорийкатегорическую фигню.

Короче, пойми, ты раньше неправильно понимал аксиомы теории категорий. Я их тоже неправильно понимал когда-то ещё раньше! Теперь тебе нужно остановиться и посмотреть на них ещё раз, понимая, что из них следуют разные интересные следствия, которые неочевидны если пытаться представить их в узком контексте функций на множествах, например.

[faceted-jacinth.livejournal.com]

http://en.wikipedia.org/wiki/Monoid_(category_theory)

[109.livejournal.com]

я бы с удовольствием их правильно понял, если бы где-нибудь удалось найти текст, который бы не употреблял одни и те же слова в разных смыслах.

но про "раньше неправильно понимал" - неверно. я их никак не понимал. с тобой я хоть могу найти эти места (где ты в разных смыслах используешь), указать тебе на них, и посмотреть, как ты выкручиваешься. а что с текстом делать - непонятно, автора же не спросишь.

[faceted-jacinth.livejournal.com]

Там довольно формальные математические определения. Когда что-то непонятно -- fall back to them. Когда непонятно нафига это всё нужно, читай дальше пока не станет совсем непонятно, после чего начинай читать сначала, теперь уже имея смутное представление о том, к чему это они вообще всё.

Учёные не умеют писать учебники в большинстве своём. Ну, так есть. Если хочется понять, что они имеют сказать, нужно прилагать усилия. У меня недавно мобильник сдох, так что я не мог читать в электричке художественную литературу, ну, распечатал какой-то учебник по теории вычислимых функций. Так и читал, по три-четыре раза каждую страницу, типа, углубляюсь страниц на двадцать, там не понимаю вообще ничего, зато когда возвращаюсь, понимаю страниц пять. Дальше опять вперёд и обратно. Ну, это был очень хуёвый учебник (хотя и дико интересный когда по третьему разу).

[faceted-jacinth.livejournal.com]

Возможно, они это специально кстати! Учёные, в смысле! Чтобы уж если кто сумел продраться, то у него настоящее понимание, а не поверхностное!

[faceted-jacinth.livejournal.com]

> отлично. значит сколько у нас identity морфизмов тогда получается?

По одному на объект. Ты, кстати понимаешь, что слово identity относится к его действию на другие морфизмы, а не только к тому, что он выходит и входит в один и тот же объект?

[109.livejournal.com]

совершенно не понимаю. расскажи, как identity morphism действует на другие морфизмы.

[faceted-jacinth.livejournal.com]

если f: A -> B
то f * Id_A = f
и id_B * f = f

Это нетривиальные свойства. Остановись, задумайся об этом, посмотри на примеры вокруг седьмой страницы по ссылке, посмотри на моноид, пойми, почему не для каждого морфизма из объекта в него самого эти свойства должны/могут выполняться.

[109.livejournal.com]

а, ты это называешь "действует". тогда понимаю.

но я о терминологии пока ещё, мы ещё пока за неё не продвинулись. то есть, мы немного продвинулись, конечно. мы обнаружили, что кроме путаницы с тем, что называется морфизмом - каждая отдельная стрелочка от элемента домена к элементу кодомена, или весь класс стрелочек.

очевидно, что в твоей фразе про identity morphism "Тщательно оговаривается не только существование, но и единственность" ты имел в виду не "42 -> 42", а весь класс. что не помешало говорить тебе про единственность морфизма. что бессмысленно, если под морфизмом понимать "42 -> 42" (а как же "43 -> 43"?)

[faceted-jacinth.livejournal.com]

Ох, ну какая буква в словосочетании "For every object" из определения "... of category C there exists identity morphism ..." тебе непонятна?

[109.livejournal.com]

for every object - понятно. как быть с единственностью? do you retract your statement? (it's ok to retract)

твою новую ссылку на моноид посмотрел; там нет путаницы объекта и класса объектов; в других местах, тем не менее, она есть.

[faceted-jacinth.livejournal.com]

Существует айдентити морфизм единственный для каждого объекта. Чего тут ретрактить-то? В определении всё прямо так и написано, если ты это прочитал как-то не так, типа что айдентити морфизм это как бы одна функция, превращающая каждый объект в самого себя, то, ну, сам виноват. Не одна, на каждый объект своя. Как и все остальные морфизмы -- defined individually.

[109.livejournal.com]

> единственный для каждого объекта

э, секундочку. "для каждого объекта" - это определение scope, которого раньше не было.

[109.livejournal.com]

> По одному на объект

ну вот видишь, братан, опять несходняк. только что ты говорил что identity morphism (в единственном числе) должен быть единственным, а теперь сразу - по одному на объект.

[faceted-jacinth.livejournal.com]

Ну не тупи же, прочитай определение ещё раз.

Только не перепутай опять разные вещи, как тогда ты перепутал множество объектов категории с domain объектом морфизма.

[109.livejournal.com]

с определением всё в порядке. не в порядке со словом "единственность", если их много. точнее, как и в датабазном мире, нельзя употреблять слова "единственность" или "уникальность" без указания scope, если имеется в виду какой-то конкретный scope, отличный от глобального.

in any case, откуда ты взял про единственность? в моей ссылке требуется только существование.

[faceted-jacinth.livejournal.com]

From these axioms, it can be proved that there is exactly one identity morphism for every object. Some authors deviate from the definition just given by identifying each object with its identity morphism.

[109.livejournal.com]

> Some authors deviate from the definition just given by identifying each object with its identity morphism

во! что предполагает, что identity morphism всегда существует. и тогда непонятно, из-за чего весь сыр-бор.

а где/как доказывается, что exactly one?

[faceted-jacinth.livejournal.com]

Предположим, что есть Id_A и Id_A'. Рассмотрим Id_A * Id_A'. С одной стороны, оно равно Id_A, с другой -- Id_A'. Значит, они равны.

[109.livejournal.com]

с какой одной стороны? где определение собственно равенства-то? у нас пока что есть только стрелочки, называемые морфизмами, и объекты и их классы, называемые также доменами и кодоменами, в зависимости от того, с какой стороны стрелочки они находятся. а, ну ещё свойство композиции определено, но оно настолько натуральное, что непонятно, как его отнять.

тут, в общем, мне представляется наёбка какая-то. вот взять вращения вокруг оси X и вокруг оси Y. ежу понятно, что это разные морфизмы. далее, вращения на 360 вокруг этих осей - тоже разные морфизмы (ну одно дело вокруг своей оси повернуться, другое - сальто сделать).

то есть то, что результат у двух разных identity морфизмов одинаковый - это понятно, это по определению identity морфизма так. непонятно, как из этого следует, что сами морфизмы одинаковы.

как определяется отношение равенства между двумя морфизмами?

[faceted-jacinth.livejournal.com]

А сыр-бор из-за того, что если ты например берёшь отношение "меньше" и пытаешься строить для него категорию, и как бы говоришь, что айдентити морфизмы существуют по умолчанию, то у тебя получается категория для отношения "меньше или равно".

"меньше" и "меньше или равно" -- разные операторы.