теория категорий

[109]

математики отличаются от физиков тем, что уделяют очевидным, с точки зрения нематематика, вещам столько же, если не больше, времени, сколько вещам далеко не столь очевидным, с точки зрения нематематика.

например, зачем столько времени обсасывается identity morphism, его свойства и существование? покажите мне физический... ладно, даже математический объект, для которого не существует identity morphismа.

а потом где-нибудь напишут без пояснений "из чего следует, что" - и сиди, чеши репу, почему следует.

(это я баеза читаю)

Comments

[faceted-jacinth.livejournal.com]

Ну не тупи же, прочитай определение ещё раз.

Только не перепутай опять разные вещи, как тогда ты перепутал множество объектов категории с domain объектом морфизма.

[109.livejournal.com]

с определением всё в порядке. не в порядке со словом "единственность", если их много. точнее, как и в датабазном мире, нельзя употреблять слова "единственность" или "уникальность" без указания scope, если имеется в виду какой-то конкретный scope, отличный от глобального.

in any case, откуда ты взял про единственность? в моей ссылке требуется только существование.

[faceted-jacinth.livejournal.com]

From these axioms, it can be proved that there is exactly one identity morphism for every object. Some authors deviate from the definition just given by identifying each object with its identity morphism.

[109.livejournal.com]

> Some authors deviate from the definition just given by identifying each object with its identity morphism

во! что предполагает, что identity morphism всегда существует. и тогда непонятно, из-за чего весь сыр-бор.

а где/как доказывается, что exactly one?

[faceted-jacinth.livejournal.com]

Предположим, что есть Id_A и Id_A'. Рассмотрим Id_A * Id_A'. С одной стороны, оно равно Id_A, с другой -- Id_A'. Значит, они равны.

[109.livejournal.com]

с какой одной стороны? где определение собственно равенства-то? у нас пока что есть только стрелочки, называемые морфизмами, и объекты и их классы, называемые также доменами и кодоменами, в зависимости от того, с какой стороны стрелочки они находятся. а, ну ещё свойство композиции определено, но оно настолько натуральное, что непонятно, как его отнять.

тут, в общем, мне представляется наёбка какая-то. вот взять вращения вокруг оси X и вокруг оси Y. ежу понятно, что это разные морфизмы. далее, вращения на 360 вокруг этих осей - тоже разные морфизмы (ну одно дело вокруг своей оси повернуться, другое - сальто сделать).

то есть то, что результат у двух разных identity морфизмов одинаковый - это понятно, это по определению identity морфизма так. непонятно, как из этого следует, что сами морфизмы одинаковы.

как определяется отношение равенства между двумя морфизмами?

[faceted-jacinth.livejournal.com]

Из аксиом, ёпта. Ну, подставь выражение Id_A * Id_A' в аксиомы для айдентити морфизма. С одной стороны f * Id_A' = f, с другой Id_A * f = f. Теперь подставим в первом... бля, ну ты сам это можешь сделать, не идиот же.

Алсо, я наверное понимаю причину конфьюжена. Нет, равенство в математическом смысле, что если А = "какое-то выражение" и Б = "то же самое выражение", то А = Б, теория категорий ни в коей мере не отменяет.

Что в ней странно и вызывает подобные мысли -- это что если f(A) = B и g(A) = B, из этого вовсе не следует, что h(f(A)) = h(f(B)). Ну вот такая она ебанутая. Из этой ебанутости получается извлечь множество полезностей, таких как моноиды.

[faceted-jacinth.livejournal.com]

хуиту написал. Имел в виду h(f(A)) != h(g(A))

[109.livejournal.com]

> С одной стороны f * Id_A' = f, с другой Id_A * f = f.

во-первых, непонятно, почему ты с разных сторон стал композицию делать.

во-вторых, ну имеем f * Id_A'(X) = f * Id_A(X). дальше-то что?

[faceted-jacinth.livejournal.com]

во-первых, при чём тут (X)? Морфизмы типа point-free =)

Ну ок, раз ты сам не можешь, выпишу, и пусть тебе будет дико стыдно.

Axioms:
(1) f * Id_X = f
(2) Id_X * f = f

Suppose we have two identity morphisms meeting the axioms.

Id_A * Id_A' = Id_A    (by (1))
Id_A * Id_A' = Id_A'   (by (2))

Therefore, 

Id_A = Id_A * Id_A' = Id_A'
Id_A = Id_A'

[das-mutante.livejournal.com]

Во всех теориях математики из f(A) = B /\ g(A) = B следует h(f(A)) = h (g(A)). О чём вы говорите?

[faceted-jacinth.livejournal.com]

В теории категорий стрелки не являются функциями между объектами.

Поэтому запись f(A) = B лучше не использовать, а если использовать, то понимать, что она означает f: A -> B (морфизм f между объектами A и B). Сожалею, что в запале спора не написал это явно.

Соответственно если у нас есть два морфизма f, h из A в B, то разумеется 1) из B может выходить сколько угодно морфизмов в другие объекты, это даже не интересно, 2) что я пытался сказать, если у нас есть морфизм h: B -> C, его композиции с теми морфизмами могут быть различны, h * f != h * g.

[109.livejournal.com]

не понял. если два морфизма f, h из A в B, то что тогда такое h * f? опечатка? что ты на самом деле имел?

[faceted-jacinth.livejournal.com]

"два морфизма f, g из A в B", да.

[109.livejournal.com]

почему различны-то, если мы в обоих случаях из A в С попадаем? почему два разных identity морфизма с одинаковыми "откуда" и "куда", всегда одинаковы, а два не-identity морфизма с одинаковыми "откуда" и "куда" могут быть различны? doesn't make any sense to me.

в рамках теории у них же нету никаких других свойств, кроме "откуда" и "куда". как они могут быть различны?

[faceted-jacinth.livejournal.com]

> почему два разных identity морфизма с одинаковыми "откуда" и "куда", всегда одинаковы
Конечно же не одинаковы.

> в рамках теории у них же нету никаких других свойств, кроме "откуда" и "куда". как они могут быть различны?

Ха, всё наоборот, в рамках теории свойства "откуда и куда" вспомогательны и могут быть на самом деле выкинуты (как я только что понял, почитав свежие комменты у Влада), нам достаточно identity морфизмов. Я вначале не поверил, потом порисовал на бумажке стрелочки и поверил.

http://ivan-ghandhi.livejournal.com/1309294.html?thread=12820078#t12820078

Теория категорий весьма своеобразна, это теория о взаимоотношениях между морфизмами (которые обладают собственной идентичностью и являются её истинными объектами!). Перестань пытаться воспринять её сквозь призму своих preconceptions. Начни читать сначала, с аксиом.

[faceted-jacinth.livejournal.com]

А сыр-бор из-за того, что если ты например берёшь отношение "меньше" и пытаешься строить для него категорию, и как бы говоришь, что айдентити морфизмы существуют по умолчанию, то у тебя получается категория для отношения "меньше или равно".

"меньше" и "меньше или равно" -- разные операторы.

[109.livejournal.com]

вот всё, что здесь у тебя написано, вообще всё, ты выдумал от начала до конца. ничего из написанного тобой я не делаю.

я же с самого начала explicitly сказал, что нет, я ничего не знаю про существование отношения ">=", а наоборот, у меня есть отдельно морфизмы типа "<" и отдельно типа "=".

собственно, если посмотреть внимательно на определение категории, то можно увидеть, что "обычные" морфизмы определяются как f:X->Y, то есть домен отличен от кодомена, а identity - как I:X->X, то есть не отличен. то есть, в общем случае "обычные" морфизмы и identity - это разные классы морфизмов (ну или разные отношения, пользуясь твоей терминологией).

[faceted-jacinth.livejournal.com]

В категории есть один набор объектов и один набор морфизмов. Если ты берёшь другой набор морфизмов -- это другая категория.

Ты спрашивал, цитирую: "то есть, если всегда можно добавить identity morphism, то непонятно, зачем его существование нужно так тщательно оговаривать". Ну вот я поясняю: если ты его добавляешь по умолчанию, то у тебя не-категория натуральных чисел с отношением "меньше" превращается в категорию натуральных чисел с отношением "меньше или равно". Это дико плохо, так делать нельзя.

Ну, если под не-"тщательным оговариванием" ты подразумеваешь что-то другое, то скажи прямо, что именно. Или научись уже признавать свою неправоту, извини что так прямо, но пиздец же.

[109.livejournal.com]

ну ты охуел совсем про неправоту.

я вот только что продемонстрировал, что просто морфизмы (отражающие X в Y) и identity морфизмы (отражающие X в X) одной и той же категории принципиально отличаются (кодомены разные). ты это проигнорировал вообще и вместо этого требуешь, чтобы я свою абстрактную неправоту признал. да ради бога, признаю, хоть десять раз. хотя на самом деле какая уж там неправота, когда и понимания-то нет никакого.

[faceted-jacinth.livejournal.com]

> что просто морфизмы (отражающие X в Y) и identity морфизмы (отражающие X в X) одной и той же категории принципиально отличаются (кодомены разные)

Мне тебе ещё раз напомнить, что в категории "Моноид" все объекты отражают Х в Х?

Не, я не понимаю как ты может так не понимать. Какие две принципиально различающихся штуки ты увидел ГДЕ? Где, а? В определении категорий? Ты читал определение категории? Читал определение категории? читал определение категории, сука? Что, заело? читал определение категории?

Там одно множество морфизмов. ОДНО. В нём требуется наличие полного подмножества морфизмов из объекта в тот же объект, являющихся айдентити относительно композиции морфизмов. So. Fucking. What.

[109.livejournal.com]

> Мне тебе ещё раз напомнить, что в категории "Моноид" все объекты отражают Х в Х?

в категории "моноид" - да, а вообще - нет. видишь, там у меня буковки, удобно сложенные в словосочетание "в общем случае"?

[faceted-jacinth.livejournal.com]

Ну, ты знаешь, типа чёрные лошади как бы лошади, но в общем случае они не чёрные, значит, и не лошади.

Короче, я потерял интерес. Ты не спрашиваешь вопросы а доябываешься до терминов. Причём термины не мои, и, хотя я уверен, что они хорошие, защищать я их не обязан. Я объяснил всё что мог объяснить. Если у тебя появятся вопросы именно про объяснение, я на них с радостью отвечу если смогу.

[109.livejournal.com]

> Какие две принципиально различающихся штуки ты увидел ГДЕ?

слева от стрелочки (домен) и справа от стрелочки (кодомен).

домен может быть, например, "натуральные числа", а кодомен - "рациональные". в зависимости от множества морфизмов. одного. морфизм - это стрелочка, сам же сказал.

2 -> 3, morphism #1, отношение "меньше"
2 -> 2, morphism #2, отношение "равно"

оба в одном множестве.

я намекнул, кстати, вопросом "что такое отношение?" а ты проигнорировал. нету никаких ещё "отношений" в базовых определениях, только песок и говно. какие констрейнты ты налагаешь на своё "множество морфизмов"? если никаких, то почему там не могут быть и такие морфизмы, и сякие?

[faceted-jacinth.livejournal.com]

В одной категории -- один набор морфизмов.